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By Stephen H. Schnauel William F. Lawvere

En este libro pretendemos explorar las consecuencias de una concepción nueva y
fundamental de l. a. naturaleza de las matemáticas, l. a. cual ha conducido a métodos
mejores para comprender y utilizar los conceptos matemáticos. Aunque esta concepción
parece basic, no es lo suficientemente standard; dominarla requiere de cierto
esfuerzo, pero dicho esfuerzo ser ́a recompensado con una claridad de comprensión
que sera útil para descifrar los aspectos matemáticos de cualquier tema.
La noción básica que subyace a todas las demás es l. a. de categoría o “universo
matemático”. Hay diversas categorías, una indicada para cada tema specific, y
hay formas de pasar de una categoría a otra. Al introducir de manera casual esta
noción con algunos ejemplos, veremos que los ingredientes ser ́an objetos, morfismos
y composición de morfismos.

La suggestion de que las matemáticas involucran diferentes categorías y las relaciones
que hay entre éstas ha estado implícita durante siglos; no obstante, no fue sino hasta
1945 cuando Eilenberg y Mac Lane dieron definiciones explícitas de las nociones
básicas en su revolucionario artículo “A basic concept of common equivalences”, en
el que sintetizan muchas décadas de análisis del funcionamiento de las matemáticas
así como de las relaciones entre sus partes.

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Ejercicio 8 ¿Puede hallar un par de morfismos A caso afirmativo, ¿cu´antos? Ejercicio 9 ¿Puede hallar un par de morfismos B caso afirmativo, ¿cu´antos? f h G G g B A k GA GB para los que g ◦f =1A ? En para los cuales k ◦h=1B ? En 1. Gu´ıa Nuestra discusi´on sobre morfismos de conjuntos nos ha llevado a la definici´on general de categor´ıa, la cual se presenta a continuaci´on para referencias futuras. Este material se repasa en las sesiones 2 y 3. 20 Art´ıculo i RESUMEN Definici´ on de CATEGOR´ IA Una categor´ıa consiste de la ´ INFORMACION: (1) Objetos (2) Morfismos (3) Para cada morfismo f , un objeto como dominio de f y un objeto como codominio de f .

12 Art´ıculo i Un m o r f i s m o f en esta categor´ıa consiste de tres cosas: (1) un conjunto A, llamado el dominio del morfismo, (2) un conjunto B, llamado el codominio del morfismo, (3) una regla que le asigna a cada elemento a en el dominio, un elemento b en el codominio. Esta b se denota por f ◦ a (o en algunas ocasiones “f (a)”), y se lee “f de a”. ) Un ejemplo probablemente lo har´a m´as claro: Sea A={Juan, Mar´ıa, Samuel }, sea B ={huevos, avena, pan tostado, caf´e } y sea f tal que a cada persona le asigna su desayuno favorito.

As´ı que hemos terminado: h=k es lo que quer´ıamos demostrar. Note que este tipo de c´alculo es muy similar al a´lgebra con cantidades num´ericas. Nuestros s´ımbolos f, h, . . representan morfismos, no n´ umeros; pero debido a que la composici´on de morfismos satisface algunas de las reglas que la multiplicaci´on de n´ umeros satisface, con frecuencia podemos llevar a cabo este tipo de c´alculos casi por h´abito; u ´nicamente debemos tener cuidado de no usar nunca reglas, como la ley conmutativa, que no son v´alidas para morfismos.

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