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By Javier Arbonés

Música y matemáticas. Ciencia y arte. Dos universos aparentemente alejados, que sin embargo mantienen relaciones íntimas. Un gran matemático dijo en una ocasión que l. a. música period "el placer que experimenta l. a. mente humana al contar sin darse cuenta de que está contando". Las conexiones entre música y matemáticas son muchas y fascinantes, desde l. a. relación entre armonía y número que asombró a los pitagóricos hasta las ingeniosas técnicas de repetición y traslación empleadas por Bach, Mozart y muchos otros para componer algunas de sus obras maestras. Este libro nos introduce en el misterio de obras que no se pueden interpretar a menos que se resuelva un enigma, nos desvela el método para componer utilizando dados que expuso Mozart, nos descubre qué hace posible distinguir un violín de una trompeta y nos explica por qué un cantante puede romper una copa de cristal con su voz... Un viaje maravilloso por las conexiones entre l. a. música y las matemáticas.

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El desafío es cada vez mayor cuanto más larga es la secuencia rítmica que se toma como base. Veamos el de­ sarrollo de las tres voces: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 46 LA OTRA DIMENSIÓN: EL TIEMPO P R O P O S T A Y R IS P O S T A En un principio, la palabra «canon» se empleaba para designar las reglas de comporta­ miento de los cantantes en la interpretación de una pieza vocal. A partir del siglo xvi, dicho vocablo pasó a designar un tipo de composición concreto, en el que un líder (también llamado dux o proposta) interpretaba una misma melodía que con posterioridad era repe­ tida por un seguidor o seguidores (el comes o risposta).

Estos doce intervalos deben ser doce semitonos iguales que, en conjunto, completen una octava. Vincenzo Galilei, padre de Galileo, propuso ya en el siglo xvi una división de la octava en doce semitonos iguales. Sus semitonos guardaban entre sí un ratio entre sus frecuencias de 18/17. El encadenamiento de doce de estos inter­ valos resulta en octavas y quintas «pequeñas», de 1,9855... , respecti­ vamente. Enfoquemos la cuestión como si se tratara de un simple problema matemático. Llamemos x a la relación de frecuencias que deben guardar dos semitonos consecu­ tivos, de modo que doce intervalos de x resulten igual a una octava.

A partir de ahí, se calcula la longitud de los otros tubos, L, con ia fórmula: Cariiiones de distinta morfología fabricados con tubos metálicos. En comparación con las quintas puras, las quintas del temperamento igual resul­ tan un tanto pequeñas. Las terceras del temperamento igual, por su parte, se ubican a mitad de camino entre las otras dos: son más grandes que las terceras puras, pero más pequeñas que las pitagóricas. Conmensurabilidad Aunque el mundo pitagórico no estaba familiarizado con las fracciones tal y como hoy las conocemos, manejaba el concepto equivalente de las relaciones entre núme­ ros enteros.

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