Download Constraint Integer Programming by TobiasAchterberg PDF

By TobiasAchterberg

Show description

Read Online or Download Constraint Integer Programming PDF

Best machine theory books

Mathematics for Computer Graphics

John Vince explains a variety of mathematical suggestions and problem-solving innovations linked to computing device video games, machine animation, digital truth, CAD and different parts of special effects during this up to date and extended fourth variation. the 1st 4 chapters revise quantity units, algebra, trigonometry and coordinate platforms, that are hired within the following chapters on vectors, transforms, interpolation, 3D curves and patches, analytic geometry and barycentric coordinates.

Topology and Category Theory in Computer Science

This quantity displays the turning out to be use of options from topology and classification conception within the box of theoretical desktop technology. In so doing it bargains a resource of recent issues of a realistic taste whereas stimulating unique rules and suggestions. Reflecting the most recent suggestions on the interface among arithmetic and computing device technology, the paintings will curiosity researchers and complicated scholars in either fields.

Cognitive robotics

The kimono-clad android robotic that lately made its debut because the new greeter on the front of Tokyos Mitsukoshi division shop is only one instance of the fast developments being made within the box of robotics. Cognitive robotics is an method of developing synthetic intelligence in robots by way of permitting them to benefit from and reply to real-world events, in place of pre-programming the robotic with particular responses to each a possibility stimulus.

Mathematical Software – ICMS 2016: 5th International Conference, Berlin, Germany, July 11-14, 2016, Proceedings

This e-book constitutes the court cases of the fifth foreign convention on Mathematical software program, ICMS 2015, held in Berlin, Germany, in July 2016. The sixty eight papers incorporated during this quantity have been rigorously reviewed and chosen from a variety of submissions. The papers are prepared in topical sections named: univalent foundations and evidence assistants; software program for mathematical reasoning and functions; algebraic and toric geometry; algebraic geometry in purposes; software program of polynomial platforms; software program for numerically fixing polynomial structures; high-precision mathematics, potent research, and particular capabilities; mathematical optimization; interactive operation to medical art and mathematical reasoning; info providers for arithmetic: software program, providers, types, and information; semDML: in the direction of a semantic layer of an international electronic mathematical library; miscellanea.

Extra resources for Constraint Integer Programming

Sample text

Djrk : x⋆ji = xji ∧ C(x⋆ ) = 1. ËÈ Û Ø ÓÑ ÓÒ×ØÖ ÆÓØ Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ Ø ÒØ× Ò ÓÒ Ö Ð¹Ú ÐÙ ÓÙÒ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò× × ÐÐ ÓÙÒ ÓÒ× ×Ø Ò
Ý × Û ËÈ Ò Û Ø ÓÒ× ×Ø Òغ ÇÒ Ø ÓØ ÓÒ× ×Ø Òظ ÓÐÐÓÛ Ò × Ø Ü ÑÔÐ ¾º º Ä Ø ÐÐ Ó Ö ÓÒ×ØÖ Ò ¸Ø Ö Ø ÒØ× Ö Ü ÑÔÐ Ö Ú Ö Ð × Ø× ÓÒ×ØÖ Ò ÒØ× Ú Ö Ö Ð × Û Ø ÓÙÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÒ× ×Ø Ò
Ý Ö ÓÙÒ Ò ÓÒ Ö Ð¹Ú ÐÙ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ú ÖÝ ÒØ ÖÚ Ð Ú Ö ËÈ× Ø ÒØ ÖÚ Ð ÓÒ× ×Ø Òغ Ø Ð × × Ö ÓÙÒ ÒÓØ ÒØ ÖÚ Ð ÐÐÙ×ØÖ Ø × C : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] → {0, 1} Ø Ð Ò Ö ÓÒ×ØÖ ÒØ C(x) = 1 ⇔ 2x1 + 2x2 + 2x3 = 3. 5) ×ÙÔÔÓÖØ× Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ó x1 ¸ Ò × Ñ Ð Ö ×ÙÔÔÓÖØ Ú ØÓÖ× Ò ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÖ Ø ÓÙÒ × Ó x2 Ò x3 º Ì × Ú ØÓÖ× Ö × Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ× ØÓ Ø Ö Ð¹Ú ÐÙ ÓÒ×ØÖ ÒØ C(x)¸ ÐØ ÓÙ Ø Ý Ö ÒÓØ × Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ× ØÓ Ø ËÈ ÆÓÛ ÓÒ× Ö Ø ÓÒ×ØÖ D = D1 × D2 × D3 ¸ Ù ØÓ Ø Ò ÒØ × Ø × ÒØ Ö Ø ÓÒ Ð ØÝ Ó ÓÒ ÒÓØ ÒØ ÖÚ Ð ÓÒ× ×Ø Òظ × Ò Ó Ø Ú Ö Ö Ð ×º Ó Ø Ø Ö Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÑ Ò× Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ׺ ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Ø ⋆ Ø ×ÙÔÔÓÖØ Ø ÒÓ Ú ØÓÖ× x ∈ D Ø Ö ËÈ × ÓÙÒ × ÔØ Ö ¿ Ë ÁÈ × Ì × ÔØ Ö ×
Ö ÖÓÒÝÑ ÓÖ Ø ÃÓÒÖ ¹ Ù× ¹ ×Ù ××ÓÖ Ó Ò × Ø ËÓÐÚ Ò Ø ÒØÖÙÑ Ñ Ü ÑÔÐ Ñ ÒØ Ô Ð Ò× Ø × ÁÈ Ö Ñ ÛÓÖ Ø Ñ Ø ×ØÖÙ
ØÙÖ × ØÓ × Ë ÁÈ ØÙÖ × Ò× Ø Ñ Ò Ò Ì × Ø× Ø × ÙÖÖ ÒØ ×ÓÐÚ Ò Ö Ò ×ØÖ È ÖØ ÁÁµº ÁÒ Ø Ð Ë ÁÈ Ö ÙØ ÓÒ Ó ÓÐÐÓÛ Ò ¸ Û × Ì Ò × × ÁÈ× Û Ø ÒÚÓÐÚ ÔÓØ ÒØ ÛÓÙÐ Ú ÓÒ×ØÖ ÔÖÓÚ ÒØ × Ð ØÝ Ø ×Ø ×Ù ÓÒ×ØÖ Ð ×ÓÐÙØ ÓÒ׸ Ð Ø ÓÒ Ð ÒÖ Ø × Ð ÓÖ Ø Ñ Ë ÁÈ Ò ÓÖ × Ò Ø ÔÐÙ Ò Ò ÐÐݸ Ö ØÓ ÔÖÓÚ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ò׺ Ø ÔÐÙ Ò׸ ÜØ ÖÒ Ð ÓÒØ Ø ÔÖÓÚ × × × Ø Ö Ò× Ø Û Ø ÖÓÙ Ø Ö Ö ÒØ ÔÐÙ × Ø Ò Ð Ò × Ðй ÒØ Ö Ò× ØÓ ×ÓÐÚ Ò ØÝÔ × ¹ Ö º Ì Ù× Ö Ú ÖÝ Ò ×× ÖÝ ÔÐÙ Ò Ö ×ØÖÙ
¹ Ð ÓÖ Ø Ñ׺ ÁÒ Ð ÓÖ Ø Ñ× ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ø ÒØ׸ Ø ÓÒ×ØÖ ÐÐ ÓÒ×ØÖ Ò Ð ÒØ Ö ×ÙÐØ Ò ÔÖÓ ÒÓ ÒØÓ ØÝÔ ¸ ÙÖ ÒØ× Ó Ø × ØÓ Ø× ØÝÔ Ë ÁÈ ×ÙÔÔÓÖØ Ë ÁÈ Ø× Ó × Ñ ÒØ × Ó ÓÒ×ØÖ Ò Ð Ö ÒØ× Ó × ØÓ ØÙÖÒ Ù× ÒØÖ Ð Ó Ò Ð Ö Ö ÔÖ × ÒØ× Ø ÒØ× Ó Ø º ÀÓÛ Ú Ö¸ Ø Ú Ø Ò ×× Ø Ö Ñ ÛÓÖ Ö Ñ ÛÓÖ Ð ÓÖ Ø Ñ× ØÓ Ó Ö ×Ô Ø ØÓ ÌÓ ÑÔÖÓÚ × ØÝ º ÅÁÈ× ´× Ø Ö ÖÓÐ Ò ÒØ À Ò Ð Ö× ÔÖ Ñ ÖÝ Ø × Ð ØÝ Û Ø Ú Ö Ò Ë Ø ÓÒ ¿º¾º Ý Ò ØÛ Ò¸ Û Û ℄ Ø Û × ÁÈ ×
Ö ÁÈ ÓÒ× ×Ø× Ó ÓÒ×ØÖ × Ò ÔÖÓ ×׺ Ì × ×ÙÔÔÐ ÙÐØ Ø Ë ÁÈ Ë Ò ÒØ× Ë Ð Ð ×׸ Ò ×Ѻ Ò× Ø ÐÐÙ×ØÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ô ÖØ Ó ÓÒ×ØÖ Ì Ö Ü Ø Ö Å ÖØ Ò ½ Æ Ú ÖØ Ø Ò ÕÙ × ´ Ò ¾¼¼½º ÁØ × Ø Ð Ü Ò ÑÓÖ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ÒØ Ö Ø Û Ø ¿º½º½ ×ØÖ Ö ÖÝ Ó ÁȺ Û Ó Ð ×ÓÐÚ Ò Ò Ð Ö׺ ×Ø Ô× Ú ÐÓÔ Ò µ × Ò Ó Ñ ×ÓÐÚ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ü Ð Ö Ø ÒØ Ñ Ø Ó × ØÓ Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ó Ó ÒØ ÓÒ ÔØ× Ó ÓÒ×ØÖ ÑÙ ÐÐ Ö ÖÓÐ Ø ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ú ÖÝ Ø ÓÒ¸ Ø Ò
ÐÙ Ú Ë ÁÈ × ××ÓÖº Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò Ö ×ØÖÙ
ØÙÖ Ò ËÁÈ Ú Ö ÓÙ× ØÝÔ × Ó Ù× Ö ÔÐÙ Ó Ò ÐÐÓÛ ÒØ Ö Ø ÓÒ ¿º½ Ö ØÓ Ó Ø Ò
ÐÙ ÜÔÐ Ë Ø ÓÒ ¿º¿ ÓÚ Ö× Ø Ø× ÔÖ ÒØ ÒØ × Ø Ò × ÕÙ Ò ×ÓÐÚ Ö Ö Ñ ÛÓÖ Ë ÁÈ ÖÐ Ò ´ Á Ð ÓÖ Ø Ñ× Ó Ò ÓÖ Ø Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ò ÓÒ×ØÖ ×
Ö ÒØ Ö ÈÖÓ Ö Ñ× µº Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ×Ø Ò ÖÓÑ ×
Ö Ø Ë Ø ÓÒ ¿º½ ÒØ ÒØ ÁÒØ ÒØ Ó ×ÙÔÔÓÖØ Ò Ó Ù× Ö ÔÐÙ Ò ÓÒ×ØÖ ÓÒ×ØÖ ÓÔØ× × Ú Ö Ð ÁÈ Ö Ñ ÛÓÖ Ò Ø Ð ÛÓÙÐ Ò Ø Ò ØÝÔ º ÓÖ ¹ ÔÖÓ Ð Ñ Ò×Ø Ò º ÓÖÖ ØÐÝ ×ÓÐÚ × ÒÓ ÓÒØ ÒÙÓÙ× Ú Ö ÓÑÔÐ Ø Ø ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ×ØÖ ÒØ Ð ×× Ó ÓÒ¹ Ú Ò ×ÓÐÙØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Û ×Ø Ø ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü ×Ø Ò Ö × Ò Ð ÓÙØ Ø Ð × ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Ö ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ ×ØÖÙ
ØÙÖ Ð º Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò Ó Ø ×ÓÐÚ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÝ ¾¿ ÔÖÓ ×× ÓÒ×ØÖ ÓÙØ Ø Ö ÓÒ×ØÖ ÒØ Ò Ð Ö× Ñ Ý ÔÖÓ¹ ÒØ× ØÓ Ø Ö Ñ ÛÓÖ ¸ ¾ Ë ⊲ ÔÖ ×ÓÐÚ Ò ⊲ ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó × ØÓ Ø Ð Ò ⊲ Ö Ö Ð Ü Ø ÓÒ¸ Û ×ØÖ Ò Ø Ò× Ø Ö Ò ⊲ Ò ØÙÖ Ð Ò Ñ Ø Ó × ØÓ × ÑÔÐ Ý Ø ØÖ Ú Ö Ò × ÓÒ× ØÓ ×ÔÐ Ø Ø Ó Ø ÓÑ ÁÈ Ö Ñ ÛÓÖ Ò׸ Ò ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ú Ò ÓÖ ÓÒ Ø Ý¸ Ø ÒØ× Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Ö Ø Û Ðй ×ØÖÙ
¹ Ð Ò Ö Ò ¹ º Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ö ÓÒ×ØÖ Ò Ð Öµº Ò ÖÝ Ò Ô× ÓÒ×ØÖ ÒØ × ÒØ aT x ≤ β Û Ø ÒÓÒ¹Ò aj ∈ ≥0 ¸ Ø Ú Ò Ì × Ö ÐÖ Ð ØÝ Ø ×Ø Ó Ó Ø ÒØ× Ò
ÐÙ Ð × Ò Ô× Ø Ó Ú Ö Ö Ý Ò Ø Ò Ü Ò Ú Ö ÓÒ×ØÖ xj Ð × Ø ÑÓ ÄÈ Ö Ð Ü Ø ÓÒ¸ ´¿º½µ Ò × β ∈ ≥0 ¸ ÒÓÒ¹Ò xj ∈ {0, 1}¸ j ∈ N º Ø aj ÒØ× Ö ×ÙÐØ Û Ø ÓÒ×ØÖ Ø ÒØ Ò ÖÝ Ú Ö × ÙÔ Ø Ô Ö × Ø Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÒØÓ ×Ñ ÐÐ Ö ×Ù ÔÖÓ Ð Ñ׸ Ù× Ò ÓÒ×ØÖ Ü ÑÔÐ ¿º½ ´ Ò Ô× ÓÒ×ØÖ ÒØ ×Ô Ð ×³ Ò Ö Ø ÄÈ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÛÐ × ÔÖÓ Ð Ñ³× Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ¸ Ø Ò Ø ÁÈ Ò × Ó ÒØ βº ÒØ× Ò Ð Ö 1 × Ø ØÓ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ× Ø Ò 0¸ ØÓ Ö Ð Ó × × Ò ÓÖ Ò ÓÖ Ë Ú Ð× ÒØ× Ø ÓÒÐÝ Ú Ò ×ÓÐÙØ ÓÒ ÈÖ ×ÓÐÚ Ò Ò ÒØ × Ú ÖÝ × ÑÔÐ Ò Ø aj > β Ð × Û Ø Ø Ú Óѹ Ò Ô× Ö ØÓ Ø Ö ½ Ø Ò ℄ Ò Ë Ø ÓÒ ½¼º¾º Ì Ø ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ò Ô× ØÓ Ø Ö Û Ø Ü × Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð × ØÓ Ð × Ø ÐÖ Ø Ö 0¸ Ý Ø Ø ÛÓÙÐ Ü ØÓ 1 ÒÓØ Ò Ø Ø ÒØÓ ÙÖÖ ÒØ ×Ù ÔÖÓ Ð Ñº Ì × Ð Ò Ö Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ô× Ò ÕÙ Ð ØÝ ´¿º½µ Ø× Ð º Ð × ¾ ℄¸ Ü ÑÔÐ ¸ ÓÚ Ö ÙØ× ´× Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ò Ð × ÏÓÐ× Ý Ü ÑÔÐ ¿º¾ ´ÒÓ×Ù Ø ×Ø Ø × Ö ÝÒ Ñ ÐÐÝ ÒØ Ò Ö Ø ÒØ ÒØ ØÓ ÒÖ Ð×Ó Ë Ø ÓÒ Û Ø Ò Ô¹ Ø ¸ ÓÖ ÓÐÐÓÛ Ò Í Ò Ô× ³× º½º ×ÝÑÑ ØÖ ØÖ Ú Ð Ò cuv ∈ Ð Ò Ø × Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ø Ø ÓÚ Ö ÙØ× ´× Ï ×Ñ ÒØ Ð ½ ¼℄µ ÓÖ Ò Ð Öµº Ì G = (V, E) ÐÐÝ ÓÒ× ×Ø× Ó Ð Ø Ò ÙÖÖ ÒØ ÄÈ ×ÓÐÙØ ÓÒ × Ö Ô ÓÒ×ØÖ ÒØ Ò Ø ÔÐ Ò × Ð Ñ Ð ¿ ℄ ÓÖ Å ÖØ Ò ØÓÙÖ ÓÒ×ØÖ Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ´ÌËȵ ÓÒ Ò Ò ¾½ ℄µ ØÓ ÙØ Ó ÓÒ×ØÖ Ø ÓÒ Ð ÙØØ Ò × Ð ×¹ Ê≥0 ¸ uv ∈ E ¸ Û Ý cuv xuv Ñ Ò uv∈E xuv = 2 ׺غ ÓÖ ÐÐ v∈V ´¿º¾µ u∈δ(v) ÒÓ×Ù ØÓÙÖ(G, x) xuv ∈ {0, 1} ÓÖÑ ÐÐݸ Ø ×ØÖ ÒØ ´¿º¿µ¸ ÒÓÒ¹Ð Ò × ÑÓ Ò Ö ÓÒ×ØÖ Ð ÓÒ× ×Ø× Ó |E| ÒØ ÒØ Û |V | ÓÖ Ö Ö Ð ØÝ ÓÒ×ØÖ × Ò ´¿º¿µ ÓÒ×ØÖ ÐÐ Ì × ÓÒ×ØÖ ÒØ ÑÙ×Ø x ∈ {0, 1}E ×ÙÔÔÓÖØ ×Û Ø ´¿º µ ÒÓ×Ù ØÓÙÖ ÓÒ¹ ÒÓ×Ù ØÓÙÖ ÓÒ×ØÖ ÒØ × ÒØ× ´¿º¾µ¸ ÓÒ ÒØ× ´¿º µº Ì × ÒÓ×Ù ØÓÙÖ(G, x) ⇔ ∄C ⊆ {uv ∈ E | xuv = 1} : C ×ÓÐÙØ ÓÒ uv ∈ E Ý ÖØ ÓÒ×ØÖ ÒØ ÓÖÖ ×ÔÓÒ × Ý
Ð Ò Ð Ö¸ Û Ò × ØÓ Ó Ð Ò Ø ÓÖ × ÓÒØ |C| < |V |.

Uji }¸ lji , uji ∈ ¸ Ð × Dji = [lji , uji ]¸ lji , uji Ò¸ C × ÐÐ ÓÙÒ ÓÒ× ×Ø ÒØ ∀i ∈ {1, . . , k} ∀xji ∈ {lji , uji } ∃x⋆ ∈ Djr1 × . . × Djrk : x⋆ji = xji ∧ C(x⋆ ) = 1. ËÈ Û Ø ÓÑ ÓÒ×ØÖ ÆÓØ Ø ÓÒ× ×Ø ÒØ Ø ÒØ× Ò ÓÒ Ö Ð¹Ú ÐÙ ÓÙÒ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ò× × ÐÐ ÓÙÒ ÓÒ× ×Ø Ò
Ý × Û ËÈ Ò Û Ø ÓÒ× ×Ø Òغ ÇÒ Ø ÓØ ÓÒ× ×Ø Òظ ÓÐÐÓÛ Ò × Ø Ü ÑÔÐ ¾º º Ä Ø ÐÐ Ó Ö ÓÒ×ØÖ Ò ¸Ø Ö Ø ÒØ× Ö Ü ÑÔÐ Ö Ú Ö Ð × Ø× ÓÒ×ØÖ Ò ÒØ× Ú Ö Ö Ð × Û Ø ÓÙÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÒ× ×Ø Ò
Ý Ö ÓÙÒ Ò ÓÒ Ö Ð¹Ú ÐÙ ÓÒ× ×Ø ÒØ Ú ÖÝ ÒØ ÖÚ Ð Ú Ö ËÈ× Ø ÒØ ÖÚ Ð ÓÒ× ×Ø Òغ Ø Ð × × Ö ÓÙÒ ÒÓØ ÒØ ÖÚ Ð ÐÐÙ×ØÖ Ø × C : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] → {0, 1} Ø Ð Ò Ö ÓÒ×ØÖ ÒØ C(x) = 1 ⇔ 2x1 + 2x2 + 2x3 = 3.

Xjk ¸ C : Dj1 × . . × Djk → {0, 1}, Ó ÓÒ×ØÖ ÒØ × Ø × Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ËÈ = (C, D) ÝÔ Ö¹ Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ × ÐÐ ∀i ∈ {1, . . , k} ∀xji ∈ Dji ∃x⋆ ∈ Dj1 × . . × Djk : x⋆ji = xji ∧ C(x⋆ ) = 1. ÝÔ Ö¹ Ö ÓÒ× ×Ø ÒØ ËÈ × ÐÐ ÀÝÔ Ö¹ Ö ÓÒ× ×Ø Ò
Ý × Ø ×Ô Ø ØÓ Ø × Ò Ð ÒÚÓÐÚ ÙÖØ ÓÑ Ò ÒØ× Ò Ú Ô ÖØ Ò ØÓ ÒØÖÓ Ù ×ØÖÓÒ ÁØ Ü
ÐÙ ÓÒÐÝ ×ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÓÒ Ø ÓÖ Ø Ö ØÓ ÓÑ Ú ÒØ× Ö ÝÔ Ö¹ Ö ÓÒ× ×Ø Òغ ÐÓ Ð ÓÒ× ×Ø Ò
Ý ÒÓØ ÓÒ Û Ø ÓÖ ÓÒ×ØÖ × Ø × Ò× Ó Ø × Ú Ö ÒØ Cº C ÁÒ ÓØ Ð × Ö ¹ Ú ÐÙ Ò Ö ÛÓÖ ×¸ ÒÓ Ý ÓÒ× ÝÔ Ö¹ Ö ÓÒ× ×Ø Ò
Ý ÓÖ ÓÑ Ò× Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ò× D ⊆ ʸ Òغ ÝÔ Ö¹ Ö ÓÒ× ×Ø Ò
ݺ ËÙ ÄÈ Ö Ð Ü Ø ÓÒ Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ× ÒØ ÖÚ Ð× Û Ø ÓÙØ ÓÐÐÓÛ Ò ÓÙÒ × Ó Ø Ú Ò ÓÒ×ØÖ Ú Ö ÓÒ×ØÖ Ú ÓÖ ÒÚÓÐÚ Ø ÓÒ ÐÐݸ Ø Ð Û Ø Ó Ø ÖÓÑ Ø ÓÐ × Ò ÓÖ Ð Û Ø Ð Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ Û ÖÓÑ Ø Ú ÖÝ Ø Ñ ¹
ÓÒ×ÙÑ Ò º Ù×Ù ÐÐÝ Ö ×Ø ÔÓ×× Ñ Ò × Ø Ñ× ØÓ ÐÐ Ú ÐÙ × ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÓÒÐÝ Ø× ÓÒ×ØÖ Ø Ù ÐÐݺ Ð ÓÖ Ø Ñ Û × ØÓ Ö ÑÓÚ Òغ Ò× Ô ÖØ Ô Ø × Ò Ö Ú ÐÙ × Ò ÓÒ×ØÖ Ø ÓÒ×ØÖ ÐÐ Ó Ö Ð Ü ÒØ ÖÚ Ð Ú Ö× ÓÒ× Ó ÓÑ Ò× Ð × Ø ÓÒ ÒØ Ó ÒÓØ Ù×Ù ÐÐÝ × Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò ÓÒ×ØÖ ÓР׺ Ì Ø Ö ÒØ ÒØ ÓÖ ¸ Û ÝÔ Ö¹ Ö ÓÒ× ×Ø Ò
ݸ Û Ö Û ÐÐ ¾¾ Ð ÓÖ Ø Ñ× Ò Ø ÓÒ ¾º ´ ÒØ ÖÚ Ð ÓÒ× ×Ø Ò
ݵº Ò Ö ØÖ ÖÝ ÓÒ×ØÖ ÒØ C ∈ C ÓÒ Ú Ö Ð × xj1 , .

Download PDF sample

Rated 4.84 of 5 – based on 33 votes