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By A.K. Boiarchuk, G.P. Golovach ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria ; revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.

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A • •,, • ^ * ' , k I" * •• Resolver las ecuaciones siguientes empleando diferentes me todos: < Solución. La solución general de la ecuación homogénea es + C2 xe— X y = C\e"x 1 1 £ Como eos ix — -e -f - e v la raíz A = - 1 de la ecuación 3 3 2 2 característica es de multiplicidad 2, conforme al p. 2 buscaremos la solución particular de la ecuación no homogénea en la forma zr y = ae -\-bx2 e —x . ¡ e , i Sustituyendo y en la ecuación inicial, obtenemos una identidad 1 1 respecto a x , a partir de la cual se infiere que a = —, b — —.

Por tanto, la ecuación dada es verdaderamente homogénea generalizada. Haciendo x — é, y = e u{t), obtenemos y -it + ti, H -t, / . H\ y - e {u + u ), • F ¡ 3u" 4- 3íí' - tí'2 = 0. El cambio de variable u' == z transforma la última ecuación en una ecuación de variables separables 3z = 2 — 3z, de cuya integración resulta ln z-3 = t + Cv o bien z = 1 - Cíe* = u. Integrando una vez más la última ecuación, hallamos u = f d(e') y c*(i —Cxé) 3¿ - 3 ln |1 - Cie'f + C2, C2, si Cx es finito; si C] = oo. Así pues, la solución general de la ecuación inicial es x 3x ln + C2x, si Ci es finito; \l-Cxx\ si C\ — oo.

2, buscaremos la solución particular de la ecuación en la forma y = y\ + yi, : r; i S! iffiilf^i^aafó donde yi = a0e , y2 = b0e , Sustituyendo la función y — a^é* + boe"iX en la ecuación inicial e igualando los coeficientes de e" y e~", obtenemos V * 1 r _ 3 i °° ~ 20 ~ 20' fro = 5o = l ¿De esta manera, la solución particular tiene la forma + y = aoelx + üQe~lx — (oq + fto) eos x + i(a o — oq) sen x = ^Icosx + isenx, y la solución general, la forma * 2a ^ 1 2/ = C^ e + C^e H eos # + — sen x. * 10 10 • Nota.

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